MA.1.2 数列极限

2023.10.7 - 2023.10.10

$ε$ 、 $N$ 定义

$数列 {a_{n}} 收敛于 a \Leftrightarrow$ $\forall ε > 0, \exists N \in N, 使 \forall n > N, 有$

| a_{n} - a | < ε

Tips: $ε 选定之后可以求得满足条件的 N, 即 N (ε)$ ^bc7721

$n > N (n \geq N)$
理解
1. $ε$ 的任意性 #ε的任意性
  - 常用形式
    - 多个极限运算后能够凑整=>证明保序性时取 $ε = \frac{b - a}{2}$
    - 限制范围，保证符号=> $\ln ε$ 取 $0 < ε < 1$ 保证恒为负
    - 取特定值，形成确定范围=>证明有界性时取 $ε = 1$ ，使得 $x_{n}$ 存在确定范围
2. $N$ 的存在性
  - 之前不一定，之后一定满足
  - 与有限无关
3. $N$ 的依赖性
  - 依赖 $ε$ 但不唯一（可更大）
4. 几何意义
  - 邻域外仅有限项
有极限 = 收敛；不收敛 = 发散

技巧：怎样证明极限

直接法

适当放大法

#适当放大法用于：不能解、解很复杂

设小于1的某个复杂常数
Eg. $\frac{2^{n}}{n!} \to 0$
合并、拆分=>凑出能约分的常见极限
Eg. $\frac{n^{2} + n + 9}{7 n^{3} - 9} \to 0$
证： $\begin{aligned} \frac{n^{2} + n + 9}{| 7 n^{3} - 9 |} & < \frac{n^{2} + n^{2} + n^{2}}{| 7 n^{3} - 9 |} \dots 9 \to n^{2} 需要 n > 3 \\ < \frac{3 n^{2}}{| 6 n^{3} + n^{3} - 9 |} \dots 此时 n^{3} - 9 > 0, 去掉 \\ < \frac{1}{2 n} \dots 也可以乘 2 再趋于 0 \\ \to 0 \end{aligned}$
此时应该取 $N = max {3, [\frac{1}{ϵ}] + 1}$ ，下略
不等式、二项式等公式
Eg. $lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$
放缩==（抓大放小）== + #收敛数列夹逼性
Eg. $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max {a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}}$

收敛数列的性质

#收敛数列唯一性极限唯一
#收敛数列有界性 $| a_{n} | < M$ ^91973b
- 收敛=>有界 <=> 无界=>发散=>说明有界是收敛的必要条件
不等式性质（ $lim x_{n} = a, lim y_{n} = b$ ）
- #收敛数列保序性 $a < b \Rightarrow x_{n} < y_{n}$ （ $n$ 充分大时）
  - 加强： $x_{n} < \frac{a + b}{2} < y_{n}$
  - 推论1: #收敛数列保号性
    - $b > 0 : y_{n} > k \cdot b > 0$ （ $n$ 充分大时） $b < 0 : y_{n} < k \cdot b < 0$ （ $n$ 充分大时）
    - => $| y_{n} | > k \cdot | b | > 0$
    - 理解： $y_{n}$ 与 $0$ 的距离不能任意小
    - ==适用于：==倒数取范围
  - 逆命题不成立：见下
  - 弱化: 若 $n$ 充分大时， $x_{n} \leq y_{n} \Rightarrow a \leq b$
    - $x_{n} < y_{n} \Rightarrow a \leq b$ 结论不变Eg. $\frac{1}{n}, \frac{2}{n} \to 0$
#收敛数列夹逼性
- $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}, lim b_{n} = lim c_{n} = a \Rightarrow lim a_{n} = a$
- $b_{n}, c_{n}$ 通常通过适当缩小、放大得到
- 推论: $0 \leq a_{n} \leq c_{n}, lim c_{n} = 0 \Rightarrow lim a_{n} = 0$
极限的运算
- 线性/四则运算
  - 除法证明思路:
    - 拆分成乘法+倒数 (Recommend)
    - #ε、N定义 + #分子拆分 + #收敛数列保号性此时使用相同的 $ε$ （ $ε$ 的任意性.3）
- 乘方、开方
  - 开方证明思路: 根号有理化 + #次方差展开 + #收敛数列保号性

写在前面：

Tips

注意讨论分母是否为0
注意讨论极限是否存在
适当讨论是否为0可以化简/求出部分
极限差为0而商不一定为1（ $a = 0$ 不行， $a \neq 0$ 为1（国科大讲义P3）

Contents

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奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

$lim C = C$

$lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k > 0$

$lim q^{n} = 0, | q | < 1$

$lim \sqrt[n]{a} = 1, a > 0$

$lim \frac{a^{n}}{n!} = 0$

$lim \sqrt[n]{n} = 1$

证明见 #二项式定理

函数重要极限

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 连续
$lim_{x \to 0} a^{x} = 1$ 教材P38 注意左右极限相等
$lim_{x \to x_{0}} a^{x} = a^{x_{0}}$
$lim_{x \to x_{0}} \ln x = \ln x_{0}$ （其他底数可以使用换底公式）
$lim_{◻ \to 0} \frac{\sin ◻}{◻} = 1, lim_{◻ \to \infty} \frac{\sin ◻}{◻} = 0$ （利用 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ）
$lim_{x \to 0} (x) \sin (◻) = 0$ 夹逼定理
$lim_{◻ \to \infty} (1 + \frac{1}{◻})^{◻} = e, lim_{◻ \to 0} (1 + ◻)^{\frac{1}{◻}} = e$
（利用 ${(1 + \frac{1}{[x] + 1})}^{[x]} < (1 + \frac{1}{x})^{x} < {(1 + \frac{1}{[x]})}^{[x] + 1} \dots [x] \leq x < [x] + 1$ ）

函数等价无穷小

$x \to 0 {\begin{cases} x \sim \sin x \sim \tan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1 \\ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} \\ x^{2} \pm x^{3} \sim x^{2} \\ (1 + x)^{α} \sim 1 + α x \\ \arctan x \sim x \end{cases}$

如：看到 $\sqrt{1 + x^{2}} - 1 \sim \frac{1}{2} x^{2}$

$x \to 0$ 次数高=作用小

$x \to \infty {\begin{cases} x^{2} + x^{3} \sim x^{3} \end{cases}$

基本导数表

Pasted image 20231107164802.png

奇奇怪怪的公式

二项式定理

$lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$

Pasted image 20231009113918.png

#和差化积

Tip

#和差化积

Pasted image 20231023180946.png

#积化和差

Pasted image 20231023181111.png

绝对值不等式

$| a + b | \leq | a | + | b |, 当 a, b 同号$

推广：

$| a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} | \leq | a_{1} | + \dots | a_{n} |, 当 a_{i} 同号$

$| | a | - | b | | \leq | a - b | \leq | a | + | b |$

即

$| 两边之差 | \leq 第三边 \leq 两边之和$

两边之差小于第三边 + 两边之和大于第三边

伯努利不等式、均值不等式

$B e r n o u l l i$ 不等式

$(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$

均值不等式（AGH不等式）

G：最适用于不全相同但接近
$\begin{array}{r} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}} \leq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} x_{3} \dots x_{n}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} \dots x_{n}}{n} \\ 其中等号当且仅当 x_{1} = x_{2} = x_{3} = \dots = x_{n} 成立 \end{array}$

例题4： $设 e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} . 证明数列 {e_{n}} 单调递增且 e_{n} < 4.$
证明： $\begin{aligned} e_{n} & = (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1 \\ < {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = e_{n + 1} \\ e_{n} & = 4 [(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}] \\ < 4 {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{n + 2})}^{n + 2} \\ = 4 \end{aligned}$

$e$ 的泰勒展开

$lim_{n \to \infty} n \sin (2 π n! e) = ?$

解：
由泰勒公式： $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)! (n + 1)} (0 < θ_{n + 1} < 1)$

$[n! e = \underset{整数部分舍弃}{\underset{⏟}{n! (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!})}} + \frac{n!}{(n + 1)!} + \frac{n! θ_{n + 1}}{(n + 1)! (n + 1)}]$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} n \sin (2 π e n!) & = lim_{n \to \infty} n \sin [2 π e n! - \overset{\sin (x \pm 2 k π) = \sin x, k \in Z}{\overset{⏞}{2 π n! (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!})}}] \\ = lim_{n \to \infty} n \sin [\frac{2 π}{n + 1} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)^{2}}] \\ = lim_{n \to \infty} n (\frac{2 π}{n + 1} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)^{2}}) \\ = 2 π \end{aligned}$

奇奇怪怪的证明

#极限与无穷小的转化

Example

若 $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ ,
试证明: $lim \frac{a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1}}{n} = a b$

#极限与无穷小的转化 + #Cauchy第一定理
证:

#收敛数列保号性

极限除法

#epsilon-N定义 + #收敛数列保号性

证明：
$\exists N_{1} \in N,$

$使得 \forall n > N_{1}, | b_{n} | > \frac{| b |}{2}$ #收敛数列保号性

$∵ lim a_{n} = a$

$∴ \forall ε > 0, \exists N_{2} \in N, \forall n > N_{2},$

$使得 | a_{n} - a | < \frac{| b |}{4} ε \dots (*)$

$类似地, \exists N_{3} \in N, \forall n > N_{3},$

$使得 | b_{n} - b | < \frac{b^{2}}{4 | a | + 1} ε \dots (* *)$

$欲证 | \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a}{b} | < ε$

$= \frac{| b a_{n} - a b_{n} |}{| b \cdot b_{n}}$

$= \frac{| a_{n} b - a b + a b - a b_{n} |}{| b \cdot b_{n} |}$ #分子拆分

$\leq \frac{| b | | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b |}{| b \cdot b_{n} |}$

$= \frac{| a_{n} - a}{| b_{n} |} + \frac{| a |}{| b \cdot b_{n} |}$

运用 #收敛数列保号性 $| b_{n} | > \frac{b}{2}$
$< \frac{2}{| b |} | a_{n} - a | + \frac{2 | a |}{b^{2}} | b_{n} - b |$

$< \frac{2}{| b |} \frac{| b |}{4} ε^{(*)} + \frac{2 | a |}{b^{2}} {\frac{b^{2}}{4 | a | + 1}}^{(* *)}$ $避免分类讨论$

$< ε$

开方

$lim a_{n}^{m} = a^{m}, (a > 0, m \in N_{+})$

证明：
$| \sqrt[3]{a_{n}} - \sqrt[3]{a} | = \frac{| a_{n} - a |}{\sqrt[3]{a_{n}} + \sqrt[3]{a}}$ <\dfrac{|a_{n}-a|}{a_{n}^\frac23+a_{n}^\frac13a^\frac13+a^\frac23}<\dfrac{|a_{n}-a|}{a^\frac23}$

$a_{n}^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}$ 可以存在运用了 #收敛数列保号性

More about: #次方差展开

#次方差展开

$\begin{aligned} a^{n} - b^{n} & = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{i} b^{n - 1 - i} \\ = (a - b) (b^{n - 1} + a b^{n - 2} + a^{2} b^{n - 3} + \dots + a^{n - 3} b^{2} + a^{n - 2} b + a^{n - 1}) \\ = (a - b) (a^{0} b^{n - 1} + a^{1} b^{n - 2} + \dots + a^{n - 2} b^{1} + a^{n - 1} b^{0}) \end{aligned}$

证明：

$\begin{aligned} a^{n} - b^{n} & = b^{n} [(\frac{a}{b})^{n} - 1] \\ = b^{n} (\frac{a}{b} - 1) \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} = (\frac{a - b}{b}) b^{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} \\ = (a - b) \cdot b^{n - 1} \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} b^{n - 1} (\frac{a}{b})^{i} \\ = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{i} b^{n - 1 - i} \end{aligned}$

#实数公理 -> #确界原理

$\begin{aligned} 令 Y = {y | y \geq x, \forall x \in X} \\ 则 M \in Y, 且 \forall x \in X, y \in Y 有 x \leq Y \\ 运用实数公理 : \\ \exists a \in R \\ 使 \forall x \in X, y \in Y, 有 \\ x \leq a \leq y & (Δ) \\ 下证 : a = sup X \\ \forall x \in X, x \leq a & ① 上界 \\ \forall ε > 0, a - ε < a \\ ∵ a - ε < a \leq \forall y \\ ∴ a - ε \notin y \\ ∴ a - ε 不为 X 上界 \\ ∴ \forall ε > 0, \exists x_{ε} \in X, 使得 a - ε < x_{ε} & ② 最小 \end{aligned}$

#调和级数

思路： #基本列中 $p$ ， $ε$ 的任意性 + 放缩 + #Cauchy收敛准则

Pasted image 20231018223218.png

单调数列+发散=>发散到正无穷

#和差化积 + 极限

例题：证明 $lim_{x \to x_{0}} \cos x = \cos x_{0}$

证：
$\begin{aligned} | \cos x - \cos x_{0} | & = | - 2 \times \sin \frac{x - x_{0}}{2} \times \sin \frac{x + x_{0}}{2} | \\ \leq 2 \times | \sin \frac{x - x_{0}}{2} | \\ \leq 2 \times | \frac{x - x_{0}}{2} | \\ = | x - x_{0} | < ε \end{aligned}$

$∴ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow \dots$

$e$ $γ$

自然常数与欧拉常数

Example 17

$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$

Pasted image 20231012191931.png

另一个上界证明见之前

$\begin{aligned} e_{n} & = (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1 \\ < {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n + 1} \\ = {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} \\ = e_{n + 1} \\ e_{n} & = 4 [(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}] \\ < 4 {(\frac{n (1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{n + 2})}^{n + 2} \\ = 4 \end{aligned}$

$e = 2.718 \dots$ - 自然对数的底数，无理数，超越数（非代数数）
超越数（非代数数）的数量远远多于代数数

重要关系
$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = x_{n}$

以上命题取对数后等价于： $n \ln (1 + \frac{1}{n}) < 1 < (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n})$

简证：左边已经证明，右边 $(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n})$

Note

极限还与数的域有关，有理数域的极限的运算不封闭

有理数的数列极限可以构造无理数

运用：

$lim {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{3 n^{2}} = lim {[{(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}}]}^{3} = e^{3}$

※重要 $γ = 0.577 1 \dots$ : #欧拉常数

#构造辅助函数

证明方程 $x \ln x = 1 在 (0, + \infty) 上有且仅有一根$
即： $x \ln x - 1 = 0$ 有解
简证：
存在性： #零值定理 1，e
唯一性： $\Rightarrow \ln x - \frac{1}{x}$ 单调！
下略

任何奇次多项式至少有一个实零点

奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

#单调有界定理

#子数列归并性定理

#Cauchy收敛准则

$数列 {a_{n}} 收敛的充分必要条件是 {a_{n}} 是基本列$

发散<=>非基本列<=> $\exists ε > 0, \forall N \in N_{+}, \exists n > N, \exists p \in N_{+} \Rightarrow | a_{n + p} - a_{n} | \geq ε$

如何求解数列极限

简化证明

数列极限的简化证明方法

$设数列 a_{n} 对常数 a 和 0 < q < 1 满足条件 :$
$| a_{n + 1} - a | \leq q | a_{n} - a | (n \in N_{+})$
$设 lim a_{n} = a$
$| a_{n} - a | \leq q | a_{n - 1} - a | \leq \dots \leq q^{n - 1} | a_{1} - a | \to 0$
$∴ lim a_{n} = a$

Tips: $q$ 只能为绝对常数，如果 $q$ 含有其他变量，可以通过放缩得到绝对常数

Example

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}, 求 lim a_{n}$

思路1：奇子列↓有下界，偶子列↑有上界
极限不能设为相同的，需要分别设出再证明相等
思路2：简化+放缩

#epsilon-N定义

技巧：怎样证明极限

直接法

适当放大法

#适当放大法用于：不能解、解很复杂

设小于1的某个复杂常数
Eg. $\frac{2^{n}}{n!} \to 0$
合并、拆分=>凑出能约分的常见极限
Eg. $\frac{n^{2} + n + 9}{7 n^{3} - 9} \to 0$
证： $\begin{aligned} \frac{n^{2} + n + 9}{| 7 n^{3} - 9 |} & < \frac{n^{2} + n^{2} + n^{2}}{| 7 n^{3} - 9 |} \dots 9 \to n^{2} 需要 n > 3 \\ < \frac{3 n^{2}}{| 6 n^{3} + n^{3} - 9 |} \dots 此时 n^{3} - 9 > 0, 去掉 \\ < \frac{1}{2 n} \dots 也可以乘 2 再趋于 0 \\ \to 0 \end{aligned}$
此时应该取 $N = max {3, [\frac{1}{ϵ}] + 1}$ ，下略
不等式、二项式等公式
Eg. $lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$
放缩==（抓大放小）== + #收敛数列夹逼性
Eg. $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max {a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}}$

#Stolz定理

$\frac{\forall}{\infty} 形 S t o l z 定理$
$设 {a_{n}}, {b_{n}} 是两个数列, 且 {b_{n}} 严格递增趋于 + \infty . 如果$
$lim \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = A$
$则有$
$lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = A$
其中 $A$ 可以是实数(有界数) / $+ \infty$ / $- \infty$ 只能是定号无穷

Cauchy定理

算数平均

#Cauchy第一定理

$lim a_{n} = a \Rightarrow lim \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} = a$
逆命题不成立： $a_{n} = (- 1)^{n} 极限不存在$

证明: $A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}, B_{n} = n$ 即可

几何平均

Corollary

$a_{n} > 0, lim a_{n} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} = a$

连乘

#Cauchy第二定理

$a_{n} > 0, lim \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{n}} = a$

#夹逼定理

见下

如何证明函数极限存在

#Heine归并定理

Theorem #Heine归并定理

$函数 f (x) 在 x \to x_{0} 时有极限的充要条件是$
$对于任意一个以 x_{0} 为极限的数列 {a_{n}} (a_{n} \neq x_{0}) 都有$ \lim\limits_{n\to x_{0}}f(a_{n})=l$

#单调函数单侧极限定理

Theorem #单调函数单侧极限定理

$设 f 在 \overset{˚}{U} (x_{0}) 内单调有界, 则 f (x_{0} \pm 0) 存在$ , $不能得出 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在$
证明只需要在 $(a, x_{0})$ , $(x_{0}, b)$ 运用 #单调函数极限定理即可

#Cauchy判别准则

Theorem #Cauchy判别准则

$lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在 \Leftrightarrow$
$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x^{'}, x^{″} \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) :$ $| f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ε$
其他五种极限不再赘述

如何求解函数极限

#夹逼定理

见下

幂指函数

幂指函数极限

#e的转化
$lim (f (x))^{g (x)} = lim e^{g (x) \ln f (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)}$
简证：第二个等号运用了 #变量代换： $u = g (x) \ln f (x), lim_{u \to u_{0}} e^{u} = e^{u_{0}} = e^{lim (u \to u_{0}) u}$
#幂指同时取极限
$设 lim f (x) = A > 0, lim g (x) = B \in R, 则$ $lim f (x)^{g (x)} = A^{B}$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)} = e^{B \ln A} = A B$
#1∞形不定式
$设 lim f (x) = 1, lim g (x) = \infty, 则$ $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = lim {(1 + f (x) - 1)^{\frac{1}{f (x) - 1}}}^{[f (x) - 1] \cdot g (x)}$
运用 #幂指同时取极限： $= e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$

Example

$lim_{x \to 0} [\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + . . . . . + a_{n}^{x}}{n}]^{\frac{1}{x}} = (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}}$
#e的转化

解：
$L := lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \ln n}{x}}$
$= e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \log n}{x}}$

法一：
#LHospital法则
$lim_{x \to 0} \frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \ln n}{x}$
$= lim_{x \to 0} \frac{(\ln (\dots))^{'}}{1}$
$= lim_{x \to 0} \frac{a_{1}^{x} \log a_{1} + \dots + a_{n}^{x} \log a_{n}}{a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}}$
$= lim_{x \to 0} \frac{\ln a_{1} + \ln a_{2} + \dots + \ln a_{n}}{n}$
$=$
Therefore,
$L = e^{\frac{1}{n} \ln (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})}$
$= (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}}$

法二：

想不到的放缩与 #夹逼定理

夹逼定理的规范使用

写出不等式
判断敛散性
带入 $lim$ 符号

不能对极限直接比较大小

${(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n} \leq {(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n})}^{n},$ $n \geq 2$
- $\Rightarrow {(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}^{n} \to e$
$\sqrt[n]{n!} \geq \frac{n}{e}$
- Taylor: $e^{n} = 1 + n + \frac{n^{2}}{2!} + \dots + \frac{n^{n}}{n!} \geq \frac{n^{n}}{n!}$

奇奇怪怪

又神秘的东西

如何定义一个开集

$\begin{array}{r} 我们称 x 为集合 A 的一个内点 \\ \exists δ > 0, C (x, δ) \subset A (O (x, δ) \overset{Δ}{=} {y | | | x - y | | < δ}) \\ 开集合：只含有内点的集合称为开集 \\ [a, b] \\ a \in [a, b] \\ \forall ε > 0, (a - ε, a + ε), \exists (a - ε, a) ⊄ [a, b] \\ (0, 1) ⋃_{n = 1}^{\infty} (0, \frac{1}{n}) \end{array}$

线性空间满足八条原则

什么是数域？

什么是拓扑空间？

$\begin{array}{r} 设 X 为一个集合, F 为 x 的幂集的子集（所有子集的集合） \\ 若： \\ o̸ \in F, x \in F \\ 对于任意的 U, V \in F, 都有 U \cap V \in F \\ \forall U_{α} \in F, α \in I, 其中 I 为指标集, 都有 ⋃_{α \in I} U_{α} \in F \\ 则称 F 为一个拓扑空间 \end{array}$

势

$1, 2, 3. . .$ ：可以排序：可数、可列
$[0, 1] \to R$ ：不可数、不可列

连续统假设

$[0, 1] \to N_{0} \to 2^{N_{0}}$

Reference：《实变函数论》

序结构：分析学

代数结构：代数学

拓扑结构：几何学

区域不变性

数分观点下的不动点

$设 f \in C [a, b], 且 f ([a, b]) \subset [a, b] 则$
$存在 ξ \in [a, b], 使得 f (ξ) = ξ (即为 [a, b] 中的不动点)$

Example

$设 f (x) 在 x 处可微, α_{n} < x_{0} < β_{n},$ $lim_{n \to \infty} α_{n} = lim_{n \to \infty} β_{n} = x_{0}$
$证明 : lim_{n \to \infty} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} = f^{'} (x_{0})$

Solution:

#添项
$\begin{aligned} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} & = \frac{f (β_{n}) - f (x_{0}) + f (x_{0}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \\ = \frac{β_{0} - x_{0}}{β_{n} - α_{n}} \frac{f (β_{n}) - f (x_{0})}{β_{n} - x_{0}} \\ - \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \end{aligned}$

Example

$设 f (x), g (x), h (x) \in C [a, b] \cap D [a, b], 试证$
$存在 | \begin{matrix} f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \\ f^{'} (ξ) & g^{'} (ξ) & h^{'} (ξ) \end{matrix} | = 0$

Solution:

$F (x) := | \begin{matrix} f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \\ f (x) & g (x) & h (x) \end{matrix} |$

Example

$★ 设 f (x) 在 [a, b] 上连续, 且 f (a) = f (b), 证明 :$
$M (x) = sup_{a \leq t \leq x} f (t), m (x) = inf_{a \leq t \leq x} f (t)$
$在 [a, b] 上连续$

一些常考 Theorem

需要掌握从实数公理推到每一个Th
以及Th之间互推！

Declekind分割原理
确界限存在原理
单调有界原理
区间套定理
有限覆盖定理
聚点定理
有界数列必有收敛子列
Cauchy收敛准则

- 适用条件
1. 极限存在 => 注意讨论
2. 有限项

n

充分大时

存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时
$n \to + \infty$

子数列

无限项
依次取出：顺序不变
- $n_{k} \geq k$ 归纳法证明
$a_{n_{k}}$ 是 $k$ 的函数，不是 $n$ 的函数
#子数列归并性定理^71d4d8
- $lim a_{n} = a \Leftrightarrow \forall {a_{n}} 的子列 {a_{n_{k}}}, 有 lim a_{n_{k}} = a$
  - $\Rightarrow$ : 易证
  - $\Leftarrow$ : 令 $n_{k} = k$ (一项不漏：即原数列)
- 判定数列发散：找到数列的一个发散子数列 or 两个极限不同的子数列Eg. $(- 1)^{n}$ 的奇、偶子列极限不相等 => 原数列发散
#子数列奇偶子列命题
- $lim a_{n} = a \Leftrightarrow lim a_{2 k - 1} = a = lim a_{2 k}$
  - $\Rightarrow$ : 易证
  - $\Leftarrow$ : $k = max {k_{1}, k_{2}}$
- 推广到任意有限个

Note

子列 ${a_{n_{k}}}$ 是 $k$ 的函数，而不是 $n$ 的函数
子奇列 ${a_{2 k - 1}}$

实数连续性定理

确界原理

上界: $\forall x \in X, 有 x \leq a$
下界: $\forall x \in X, 有 x \geq b$
有界集合:
1. 上+下
2. $\exists M, m \in R, 使 \forall x \in X, 有 m \leq x \leq M \Leftrightarrow \exists L \geq 0, 使 \forall x \in X, | x | \leq L$ 联想有界性
  - $\Rightarrow$ : $L = max {| m |, | M |}$
  - $\Leftarrow$ : $m = - L, M = L$
#确界原理
- 上确界 $a = sup X$
  - 理解
    1. $\forall x \in X, 有 x \leq a$ - 上界
    2. $\forall ε > 0, \exists x_{ε} \in X, 有 x_{ε} > a - ε$ - 任何一个比 $a$ 小一点点🤏的都不是上确界Tips: 可以不妨设 $ε$ 的范围，防止越界
  - 最大数是上确界
- 下确界 $b = inf X$
  1. $\forall x \in X, 有 x \geq b$
  2. $\forall ε > 0, \exists x_{ε} \in X, 有 x_{ε} < b + ε$
- 拓展：
  - 上无界集: $\forall M > 0 \in R, \exists x \in X, 使 x > M$
  - 无界集: $\forall L > 0, \exists x \in X, 使 | x | > L$
- $sup X \leq M \dots M 为任意上界$
  - $若 \forall x \in X, 有 x \leq M \Rightarrow sup X \leq M$
有上下确界 => 上下确界唯一
确界原理的证明
- #实数公理 -> #确界原理
  1. $X) sup X (Y$ => 构造 $Y$
  2. 找出上界
  3. 证明不能再小🤏

写在前面：

Tips

注意讨论分母是否为0
注意讨论极限是否存在
适当讨论是否为0可以化简/求出部分
极限差为0而商不一定为1（ $a = 0$ 不行， $a \neq 0$ 为1（国科大讲义P3）

Contents

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奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

$lim C = C$

$lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k > 0$

$lim q^{n} = 0, | q | < 1$

$lim \sqrt[n]{a} = 1, a > 0$

$lim \frac{a^{n}}{n!} = 0$

$lim \sqrt[n]{n} = 1$

证明见 #二项式定理

函数重要极限

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 连续
$lim_{x \to 0} a^{x} = 1$ 教材P38 注意左右极限相等
$lim_{x \to x_{0}} a^{x} = a^{x_{0}}$
$lim_{x \to x_{0}} \ln x = \ln x_{0}$ （其他底数可以使用换底公式）
$lim_{◻ \to 0} \frac{\sin ◻}{◻} = 1, lim_{◻ \to \infty} \frac{\sin ◻}{◻} = 0$ （利用 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ）
$lim_{x \to 0} (x) \sin (◻) = 0$ 夹逼定理
$lim_{◻ \to \infty} (1 + \frac{1}{◻})^{◻} = e, lim_{◻ \to 0} (1 + ◻)^{\frac{1}{◻}} = e$
（利用 ${(1 + \frac{1}{[x] + 1})}^{[x]} < (1 + \frac{1}{x})^{x} < {(1 + \frac{1}{[x]})}^{[x] + 1} \dots [x] \leq x < [x] + 1$ ）

函数等价无穷小

$x \to 0 {\begin{cases} x \sim \sin x \sim \tan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1 \\ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} \\ x^{2} \pm x^{3} \sim x^{2} \\ (1 + x)^{α} \sim 1 + α x \\ \arctan x \sim x \end{cases}$

如：看到 $\sqrt{1 + x^{2}} - 1 \sim \frac{1}{2} x^{2}$

$x \to 0$ 次数高=作用小

$x \to \infty {\begin{cases} x^{2} + x^{3} \sim x^{3} \end{cases}$

基本导数表

Pasted image 20231107164802.png

奇奇怪怪的公式

二项式定理

$lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$

Pasted image 20231009113918.png

#和差化积

Tip

#和差化积

Pasted image 20231023180946.png

#积化和差

Pasted image 20231023181111.png

绝对值不等式

$| a + b | \leq | a | + | b |, 当 a, b 同号$

推广：

$| a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} | \leq | a_{1} | + \dots | a_{n} |, 当 a_{i} 同号$

$| | a | - | b | | \leq | a - b | \leq | a | + | b |$

即

$| 两边之差 | \leq 第三边 \leq 两边之和$

两边之差小于第三边 + 两边之和大于第三边

伯努利不等式、均值不等式

$B e r n o u l l i$ 不等式

$(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$

均值不等式（AGH不等式）

$e$ 的泰勒展开

$lim_{n \to \infty} n \sin (2 π n! e) = ?$

解：
由泰勒公式： $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{θ_{n + 1}}{(n + 1)! (n + 1)} (0 < θ_{n + 1} < 1)$

奇奇怪怪的证明

#极限与无穷小的转化

Example

若 $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ ,
试证明: $lim \frac{a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1}}{n} = a b$

#极限与无穷小的转化 + #Cauchy第一定理
证:

#收敛数列保号性

极限除法

#epsilon-N定义 + #收敛数列保号性

证明：
$\exists N_{1} \in N,$

$使得 \forall n > N_{1}, | b_{n} | > \frac{| b |}{2}$ #收敛数列保号性

$∵ lim a_{n} = a$

$∴ \forall ε > 0, \exists N_{2} \in N, \forall n > N_{2},$

$使得 | a_{n} - a | < \frac{| b |}{4} ε \dots (*)$

$类似地, \exists N_{3} \in N, \forall n > N_{3},$

$使得 | b_{n} - b | < \frac{b^{2}}{4 | a | + 1} ε \dots (* *)$

$欲证 | \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a}{b} | < ε$

$= \frac{| b a_{n} - a b_{n} |}{| b \cdot b_{n}}$

$= \frac{| a_{n} b - a b + a b - a b_{n} |}{| b \cdot b_{n} |}$ #分子拆分

$\leq \frac{| b | | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b |}{| b \cdot b_{n} |}$

$= \frac{| a_{n} - a}{| b_{n} |} + \frac{| a |}{| b \cdot b_{n} |}$

运用 #收敛数列保号性 $| b_{n} | > \frac{b}{2}$
$< \frac{2}{| b |} | a_{n} - a | + \frac{2 | a |}{b^{2}} | b_{n} - b |$

$< \frac{2}{| b |} \frac{| b |}{4} ε^{(*)} + \frac{2 | a |}{b^{2}} {\frac{b^{2}}{4 | a | + 1}}^{(* *)}$ $避免分类讨论$

$< ε$

开方

$lim a_{n}^{m} = a^{m}, (a > 0, m \in N_{+})$

$a_{n}^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}$ 可以存在运用了 #收敛数列保号性

More about: #次方差展开

#次方差展开

证明：

#实数公理 -> #确界原理

#调和级数

思路： #基本列中 $p$ ， $ε$ 的任意性 + 放缩 + #Cauchy收敛准则

Pasted image 20231018223218.png

单调数列+发散=>发散到正无穷

#和差化积 + 极限

例题：证明 $lim_{x \to x_{0}} \cos x = \cos x_{0}$

$∴ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow \dots$

$e$ $γ$

自然常数与欧拉常数

Example 17

$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$

Pasted image 20231012191931.png

另一个上界证明见之前

$e = 2.718 \dots$ - 自然对数的底数，无理数，超越数（非代数数）
超越数（非代数数）的数量远远多于代数数

重要关系
$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = x_{n}$

以上命题取对数后等价于： $n \ln (1 + \frac{1}{n}) < 1 < (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n})$

简证：左边已经证明，右边 $(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n})$

Note

极限还与数的域有关，有理数域的极限的运算不封闭

有理数的数列极限可以构造无理数

运用：

$lim {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{3 n^{2}} = lim {[{(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}}]}^{3} = e^{3}$

※重要 $γ = 0.577 1 \dots$ : #欧拉常数

#构造辅助函数

证明方程 $x \ln x = 1 在 (0, + \infty) 上有且仅有一根$
即： $x \ln x - 1 = 0$ 有解
简证：
存在性： #零值定理 1，e
唯一性： $\Rightarrow \ln x - \frac{1}{x}$ 单调！
下略

任何奇次多项式至少有一个实零点

奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

#单调有界定理

#子数列归并性定理

#Cauchy收敛准则

$数列 {a_{n}} 收敛的充分必要条件是 {a_{n}} 是基本列$

发散<=>非基本列<=> $\exists ε > 0, \forall N \in N_{+}, \exists n > N, \exists p \in N_{+} \Rightarrow | a_{n + p} - a_{n} | \geq ε$

如何求解数列极限

简化证明

数列极限的简化证明方法

Tips: $q$ 只能为绝对常数，如果 $q$ 含有其他变量，可以通过放缩得到绝对常数

Example

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}, 求 lim a_{n}$

思路1：奇子列↓有下界，偶子列↑有上界
极限不能设为相同的，需要分别设出再证明相等
思路2：简化+放缩

#epsilon-N定义

技巧：怎样证明极限

直接法

适当放大法

#适当放大法用于：不能解、解很复杂

设小于1的某个复杂常数
Eg. $\frac{2^{n}}{n!} \to 0$
合并、拆分=>凑出能约分的常见极限
Eg. $\frac{n^{2} + n + 9}{7 n^{3} - 9} \to 0$
证： $\begin{aligned} \frac{n^{2} + n + 9}{| 7 n^{3} - 9 |} & < \frac{n^{2} + n^{2} + n^{2}}{| 7 n^{3} - 9 |} \dots 9 \to n^{2} 需要 n > 3 \\ < \frac{3 n^{2}}{| 6 n^{3} + n^{3} - 9 |} \dots 此时 n^{3} - 9 > 0, 去掉 \\ < \frac{1}{2 n} \dots 也可以乘 2 再趋于 0 \\ \to 0 \end{aligned}$
此时应该取 $N = max {3, [\frac{1}{ϵ}] + 1}$ ，下略
不等式、二项式等公式
Eg. $lim \sqrt[n]{n} = 1 (n > 1)$
放缩==（抓大放小）== + #收敛数列夹逼性
Eg. $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = max {a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}}$

#Stolz定理

Cauchy定理

算数平均

#Cauchy第一定理

$lim a_{n} = a \Rightarrow lim \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} = a$
逆命题不成立： $a_{n} = (- 1)^{n} 极限不存在$

证明: $A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}, B_{n} = n$ 即可

几何平均

Corollary

$a_{n} > 0, lim a_{n} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} = a$

连乘

#Cauchy第二定理

$a_{n} > 0, lim \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{n}} = a$

#夹逼定理

见下

如何证明函数极限存在

#Heine归并定理

Theorem #Heine归并定理

$函数 f (x) 在 x \to x_{0} 时有极限的充要条件是$
$对于任意一个以 x_{0} 为极限的数列 {a_{n}} (a_{n} \neq x_{0}) 都有$ \lim\limits_{n\to x_{0}}f(a_{n})=l$

#单调函数单侧极限定理

Theorem #单调函数单侧极限定理

#Cauchy判别准则

Theorem #Cauchy判别准则

如何求解函数极限

#夹逼定理

见下

幂指函数

幂指函数极限

#e的转化
$lim (f (x))^{g (x)} = lim e^{g (x) \ln f (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)}$
简证：第二个等号运用了 #变量代换： $u = g (x) \ln f (x), lim_{u \to u_{0}} e^{u} = e^{u_{0}} = e^{lim (u \to u_{0}) u}$
#幂指同时取极限
$设 lim f (x) = A > 0, lim g (x) = B \in R, 则$ $lim f (x)^{g (x)} = A^{B}$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)} = e^{B \ln A} = A B$
#1∞形不定式
$设 lim f (x) = 1, lim g (x) = \infty, 则$ $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = lim {(1 + f (x) - 1)^{\frac{1}{f (x) - 1}}}^{[f (x) - 1] \cdot g (x)}$
运用 #幂指同时取极限： $= e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$

Example

$lim_{x \to 0} [\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + . . . . . + a_{n}^{x}}{n}]^{\frac{1}{x}} = (a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}}$
#e的转化

解：
$L := lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \ln n}{x}}$
$= e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (a_{1}^{x} + \dots + a_{n}^{x}) - \log n}{x}}$

法二：

想不到的放缩与 #夹逼定理

夹逼定理的规范使用

写出不等式
判断敛散性
带入 $lim$ 符号

不能对极限直接比较大小

${(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n} \leq {(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n})}^{n},$ $n \geq 2$
- $\Rightarrow {(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}^{n} \to e$
$\sqrt[n]{n!} \geq \frac{n}{e}$
- Taylor: $e^{n} = 1 + n + \frac{n^{2}}{2!} + \dots + \frac{n^{n}}{n!} \geq \frac{n^{n}}{n!}$

奇奇怪怪

又神秘的东西

如何定义一个开集

线性空间满足八条原则

什么是数域？

什么是拓扑空间？

势

$1, 2, 3. . .$ ：可以排序：可数、可列
$[0, 1] \to R$ ：不可数、不可列

连续统假设

$[0, 1] \to N_{0} \to 2^{N_{0}}$

Reference：《实变函数论》

序结构：分析学

代数结构：代数学

拓扑结构：几何学

区域不变性

数分观点下的不动点

$设 f \in C [a, b], 且 f ([a, b]) \subset [a, b] 则$
$存在 ξ \in [a, b], 使得 f (ξ) = ξ (即为 [a, b] 中的不动点)$

Example

Solution:

#添项
$\begin{aligned} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} & = \frac{f (β_{n}) - f (x_{0}) + f (x_{0}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \\ = \frac{β_{0} - x_{0}}{β_{n} - α_{n}} \frac{f (β_{n}) - f (x_{0})}{β_{n} - x_{0}} \\ - \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \frac{f (β_{n}) - f (α_{n})}{β_{n} - α_{n}} \end{aligned}$

Example

$设 f (x), g (x), h (x) \in C [a, b] \cap D [a, b], 试证$
$存在 | \begin{matrix} f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \\ f^{'} (ξ) & g^{'} (ξ) & h^{'} (ξ) \end{matrix} | = 0$

Solution:

$F (x) := | \begin{matrix} f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \\ f (x) & g (x) & h (x) \end{matrix} |$

Example

$★ 设 f (x) 在 [a, b] 上连续, 且 f (a) = f (b), 证明 :$
$M (x) = sup_{a \leq t \leq x} f (t), m (x) = inf_{a \leq t \leq x} f (t)$
$在 [a, b] 上连续$

一些常考 Theorem

需要掌握从实数公理推到每一个Th
以及Th之间互推！

Declekind分割原理
确界限存在原理
单调有界原理
区间套定理
有限覆盖定理
聚点定理
有界数列必有收敛子列
Cauchy收敛准则

- #确界原理 -> #实数公理

单调有界

回顾: #收敛数列有界性

#收敛数列有界性 $| a_{n} | < M$

#单调有界定理

单调数列：有对应的界<=>收敛^31cae5

对于单调数列：有对应的界<=>收敛
应用：
- 判断单调数列收敛
- 递推数列求极限

数列极限的简化证明方法

$设数列 a_{n} 对常数 a 和 0 < q < 1 满足条件 :$

| a_{n + 1} - a | \leq q | a_{n} - a | (n \in N_{+})

$设 lim a_{n} = a$

| a_{n} - a | \leq q | a_{n - 1} - a | \leq \dots \leq q^{n - 1} | a_{1} - a | \to 0

$∴ lim a_{n} = a$

Tips: $q$ 只能为绝对常数，如果 $q$ 含有其他变量，可以通过放缩得到绝对常数

Example

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}, 求 lim a_{n}$

思路1：奇子列↓有下界，偶子列↑有上界
极限不能设为相同的，需要分别设出再证明相等
思路2：简化+放缩

自然常数与欧拉常数

Example 17

$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$

Pasted image 20231012191931.png

另一个上界证明见之前

$e = 2.718 \dots$ - 自然对数的底数，无理数，超越数（非代数数）
超越数（非代数数）的数量远远多于代数数

重要关系
$e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = x_{n}$

以上命题取对数后等价于： $n \ln (1 + \frac{1}{n}) < 1 < (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n})$

简证：左边已经证明，右边 $(1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n})$

Note

极限还与数的域有关，有理数域的极限的运算不封闭

有理数的数列极限可以构造无理数

运用：

$lim {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{3 n^{2}} = lim {[{(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}}]}^{3} = e^{3}$

※重要 $γ = 0.577 1 \dots$ : #欧拉常数

（闭）区间套定理

#区间套定理

Theorem

Pasted image 20231012235221.png
Pasted image 20231012235234.png

理解
- 套：前套后
- 最终锁住 $ξ$
证明
与 #实数公理的关系
- 证明实数域连续性：假设有空隙，围绕该空隙构造区间列，可知 $ξ$ 不存在 => 反映实数连续性

Bolzano-Weierestrass 定理

#BW定理列紧性定理致密性定理

有界数列必存在收敛子列
可以是多个极限不同的数列

理解
- 在区间中放入一个数列，必然导致有部分聚集了多个项 / 密集
简证
- 二分法
- 区间长度 $\frac{1}{2^{k}} L \to 0$
与 #子数列归并性定理的区别
- #子数列归并性定理规定了收敛, 即部分收敛与整体收敛的关系
- #BW定理阐明即使发散, 只要有界就必然存在局部收敛

基本列

#基本列 / Cauchy列

$\begin{array}{r} 若对任意给定的正数 ε, 存在正整数 N = N (ε), 使得当 m, n > N 时, \end{array}$

| a_{n} - a_{m} | < ε

$则称该数列为基本列$

理解: 基本列就是最后能无限接近的数列.
- 只要 $n$ 够大, 不论相隔多远都能无限逼近
- 极限附近的两点能无限接近

#基本列的带

p

形式

$\begin{array}{r} 对任意给定的正数 ε, 存在自然数 N, 使得当 n > N 时, 不等式 \end{array}$

| a_{n + p} - a_{n} | < ε

$对所有自然数 p 成立$

Cauchy收敛准则

#Cauchy收敛准则

$数列 {a_{n}} 收敛的充分必要条件是 {a_{n}} 是基本列$

发散<=>非基本列<=> $\exists ε > 0, \forall N \in N_{+}, \exists n > N, \exists p \in N_{+} \Rightarrow | a_{n + p} - a_{n} | \geq ε$

证明
- 收敛 - 基本列: #ε的任意性 ( $ε \to \frac{ε}{2}$ ) + 基本列定义 (拆分相加)
- 基本列 - 收敛: #ε的任意性证明基本列有界 + #BW定理证明存在收敛子列 + 充分大证明基本列收敛于该子列的极限
- 以下证明摘自陈纪修版本数学分析教材
理解
- 收敛 - 基本列: 收敛于某个值即在这个值附近任意两项能无限接近
- 基本列 - 收敛: 最后能无限接近的数列中, 肯定有个子列是能够满足单调+有界的收敛子列, 于是利用基本列无限接近的特征证明基本列最后也会无限接近该收敛子列的极限
  - 例如以下情形:

基本列与

\forall p \in N_{+}, lim | a_{n + p} - a_{n} | = 0

不等价

基本列: $N (ε)$ , 对任意 $p$ 都成立
$\forall ε > 0, \exists N (ε) \in N, \forall n > N, \forall p \in N_{+}, 有 | a_{n + p} - a_{n} | < ε$
普通极限: $N (p, ε)$ , $p$ 为给定的, 数列本身带有参数
$\forall ε > 0, \forall p \in N_{+}, \exists N (p, ε) \in N, \forall n > N, 有 | a_{n + p} - a_{n} | < ε$

基本列 $\begin{array}{r} \Rightarrow \\ ⇍ \end{array}$ 普通极限

无穷大与无穷小

无穷小(量)

Definition

$lim a_{n} = 0$

则称 ${a_{n}}$ 为无穷大(量)

Property

有限个无穷小之和为无穷小
无穷小乘以有界量仍为无穷小

lim \frac{\sin n}{n} = 0

; 不能写为

= lim \sin n \times lim \frac{1}{n}

(

\sin n

极限不存在)

有限个无穷小之积仍为无穷小

Proposition

#极限与无穷小的转化

{a_{n}} 收 敛 \Leftrightarrow \exists a \in R 及 无 穷 小 {α_{n}}, 使 a_{n} = a + α_{n}

理解
- "摘掉极限的帽子", 可以让极限参与运算
- 极限为 $a$ , 说明本身与 $a$ 只相差无穷小

证明:

充分性: $$\begin{align*}令&\lim a_{n}=a \Rightarrow\lim(a_{n}-a)=0\&a_{n}=a+(a_{n}-a)\overset{def}{=}a+\alpha_{n}\其中&\lim \alpha_{n}=0\\therefore &\lim a_n=a\end{align*}$$
必要性是显然的

无穷大(量)

#无穷大

$\forall M > 0, \exists N \in N, 当 n > N 时, | a_{n} | > M$

则称 ${a_{n}}$ 为无穷大(量), 记为 $lim a_{n} = \infty$

发散到无穷大, 趋于正无穷

收敛, 极限为 $+ \infty$

有界无穷
- 正无穷: $a_{n} > M$
- 负无穷: $a_{n} < - M$
无穷大 $\Rightarrow$ 无界
- 无界不一定发散到无穷大
  如数列 $1, 0, 3, 0, 5, \dots$ 始终有项小于 $M$ , 因此不发散到无穷大
- 数列反例常用方法: 分奇偶

Theorem

无穷大与无穷小为倒数关系 $\dots (a_{n} \neq 0)$

Theorem

单调数列发散到无穷大的充分必要条件是其为一个无界数列

Theorem

单调递增且无上界的数列必然发散到正无穷大
单调递减且无下界的数列必然发散到负无穷大
单调数列要么收敛, 要么发散到无穷大

证明:
Pasted image 20231017185024.png

Stolz定理

#Stolz定理

$\frac{\forall}{\infty} 形 S t o l z 定理$
$设 {a_{n}}, {b_{n}} 是两个数列, 且 {b_{n}} 严格递增趋于 + \infty . 如果$

lim \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = A

$则有$

lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = A

其中 $A$ 可以是实数(有界数) / $+ \infty$ / $- \infty$ 只能是定号无穷

Theorem

$\frac{0}{0} 形 S t o l z 定理$ (适用范围较窄)
$设 {a_{n}}, {b_{n}} 是两个收敛于 0 的数列, 且 {b_{n}} 严格递减 . 如果$

lim \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = A

$则有$

lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = A

其中 $A$ 可以是实数(有界数) / $+ \infty$ / $- \infty$ 只能是定号无穷

理解
- 严格递增, 趋于正无穷则差商趋商
证明
- 方法一: 运用 #极限与无穷小的转化
  $ε \to N_{1} (ε) \to N_{2} (N_{1}, ε) \Leftrightarrow N_{2} (ε) \to N$
- 方法二:
逆命题不成立: 商可能无极限
$A$ 为无穷时未必成立
Eg. $a_{n} = (- 1)^{n - 1}, b_{n} = n \Rightarrow lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0, 但 \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = 2 \times (- 1)^{n} 无极限$

Cauchy定理

#Cauchy第一定理

$lim a_{n} = a \Rightarrow lim \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} = a$

逆命题不成立： $a_{n} = (- 1)^{n} 极限不存在$

证明: $A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}, B_{n} = n$ 即可

Corollary

$a_{n} > 0, lim a_{n} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} = a$

#Cauchy第二定理

$a_{n} > 0, lim \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = a \Rightarrow lim \sqrt[n]{a_{n}} = a$

Example

若 $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ ,
试证明: $lim \frac{a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1}}{n} = a b$

#极限与无穷小的转化 + #Cauchy第一定理
证:

ε、N定义

直接法

适当放大法

收敛数列的性质

开方证明思路: 根号有理化 + #次方差展开 + #收敛数列保号性

奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

函数重要极限

函数等价无穷小

基本导数表

奇奇怪怪的公式

二项式定理

绝对值不等式

伯努利不等式、均值不等式

Bernoulli 不等式

均值不等式（AGH不等式）

e的泰勒展开

奇奇怪怪的证明

极限除法

开方

#实数公理 -> #确界原理

#和差化积 + 极限

e γ

自然常数与欧拉常数

任何奇次多项式至少有一个实零点

奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

如何求解数列极限

简化证明

直接法

适当放大法

Cauchy定理

如何证明函数极限存在

如何求解函数极限

幂指函数

幂指函数极限

想不到的放缩与 #夹逼定理

奇奇怪怪

又神秘的东西

如何定义一个开集

什么是数域？

什么是拓扑空间？

势

连续统假设

区域不变性

数分观点下的不动点

一些常考 Theorem

子数列

实数连续性定理

确界原理

奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

函数重要极限

函数等价无穷小

基本导数表

奇奇怪怪的公式

二项式定理

绝对值不等式

伯努利不等式、均值不等式

Bernoulli 不等式

均值不等式（AGH不等式）

e的泰勒展开

奇奇怪怪的证明

极限除法

开方

#实数公理 -> #确界原理

#和差化积 + 极限

e γ

自然常数与欧拉常数

任何奇次多项式至少有一个实零点

奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

如何求解数列极限

简化证明

直接法

适当放大法

Cauchy定理

如何证明函数极限存在

如何求解函数极限

幂指函数

$ε$ 、 $N$ 定义

$B e r n o u l l i$ 不等式

$e$ 的泰勒展开

$e$ $γ$

$B e r n o u l l i$ 不等式

$e$ 的泰勒展开

$e$ $γ$